第十一天 树操作(上) - 算法系列15天速成

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第十一天 树操作(上)

发布于 2019-11-11 字数24424 浏览 702 评论 0

最近项目赶的紧,歇了一个星期没写博客了,趁周末继续写这个系列。

先前我们讲的都是“线性结构”,他的特征就是“一个节点最多有一个”前驱“和一个”后继“。那么我们今天讲的树会是怎样的呢?

我们可以对”线性结构“改造一下,变为”一个节点最多有一个”前驱“和”多个后继“。哈哈,这就是我们今天说的”树“。

一: 树

我们思维中的”树“就是一种枝繁叶茂的形象,那么数据结构中的”树“该是怎么样呢?对的,他是一种现实中倒立的树。

第十一天 树操作(上)

1:术语

其实树中有很多术语的,这个是我们学习树形结构必须掌握的。

<1> 父节点,子节点,兄弟节点

这个就比较简单了,B和C的父节点就是A,反过来说就是B和C是A的子节点。B和C就是兄弟节点。

<2> 结点的度

其实”度“就是”分支数“,比如A的分支数有两个“B和C”,那么A的度为2。

<3> 树的度

看似比较莫名其妙吧,他和”结点的度“的区别就是,树的度讲究大局观,乃树中最大的结点度,其实也就是2。

<4> 叶结点,分支结点

叶结点就是既没有左孩子也没有右孩子结点,也就是结点度为0。分支节点也就是if的else的条件咯。

<5> 结点的层数

这个很简单,也就是树有几层。

<6> 有序树,无序树

有序树我们先前也用过,比如“堆”和“二叉排序树”,说明这种树是按照一定的规则进行排序的,else条件就是无序树。

<7> 森林

现实中,很多的树形成了森林,那在数据结构中,我们把上图的“A”节点砍掉,那么B,C子树合一起就是森林咯。

2: 树的表示

树这个结构的表示其实有很多种,常用的也就是“括号”表示法。

比如上面的树就可以表示为:(A(B(D),(E)),(C(F),(G)))

二: 二叉树

在我们项目开发中,很多地方都会用到树,但是多叉树的处理还是比较纠结的,所以俺们本着“大事化小,小事化了“的原则

把”多叉树“转化为”二叉树“,那么问题就简化了很多。

1: ”二叉树“和”树“有什么差异呢?

第一点: 树的度没有限制,而“二叉树”最多只能有两个,不然也就不叫二叉树了,哈哈。

第二点:树中的子树没有左右划分,很简单啊,找不到参照点,二叉树就有参照物咯。

2: 二叉树的类型

二叉树中有两种比较完美的类型,“完全二叉树”和“满二叉树”。

<1> 满二叉树

除叶子节点外,所有节点的度都为2,文章开头处的树就是这里的“满二叉树”。

<2> 完全二叉树

必须要满足两个条件就即可: 干掉最后一层,二叉树变为“满二叉树”。

最后一层的叶节点必须是“从左到右”依次排开。

我们干掉文章开头处的节点“F和”G”,此时还是“完全二叉树”,但已经不是“满二叉树”了,你懂的。

3: 二叉树的性质

二叉树中有5点性质非常重要,也是俺们必须要记住的。

<1> 二叉树中,第i层的节点最多有2(i-1)个。

<2> 深度为k的二叉树最多有2k-1个节点。

<3> 二叉树中,叶子节点树为N1个,度为2的节点有N2个,那么N1=N2+1。

<4> 具有N个结点的二叉树深度为(Log2 N)+1层。

<5> N个结点的完全二叉树如何用顺序存储,对于其中的一个结点i,存在以下关系,

2*i是结点i的父结点。

i/2是结点i的左孩子。

(i/2)+1是结点i的右孩子。

4: 二叉树的顺序存储

同样的存储方式也有两种,“顺序存储”和“链式存储”。

<1> 顺序存储

说实话,树的存储用顺序结构比较少,因为从性质定理中我们都可以看出只限定为“完全二叉树”,那么如果二叉树不是

“完全二叉树”,那我们就麻烦了,必须将其转化为“完全二叉树”,将空的节点可以用“#”代替,图中也可看出,为了维护

性质定理5的要求,我们牺牲了两个”资源“的空间。

第十一天 树操作(上)

<2> 链式存储

上面也说了,顺序存储会造成资源的浪费,所以嘛,我们开发中用的比较多的还是“链式存储”,同样“链式存储”

也非常的形象,非常的合理。

一个结点存放着一个“左指针”和一个“右指针”,这就是二叉链表。

如何方便的查找到该结点的父结点,可以采用三叉链表。

5: 常用操作

一般也就是“添加结点“,“查找节点”,“计算深度”,“遍历结点”,“清空结点”

<1> 这里我们就用二叉链表来定义链式存储模型

 1 #region 二叉链表存储结构
    /// <summary>
/// 二叉链表存储结构
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
    public class ChainTree<T>
    {
        public T data;

        public ChainTree<T> left;

        public ChainTree<T> right; 
    }
    #endregion

<2> 添加结点

要添加结点,我们就要找到添加结点的父结点,并且根据指示插入到父结点中指定左结点或者右结点。

 1 #region 将指定节点插入到二叉树中
        /// <summary>
/// 将指定节点插入到二叉树中
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
/// <param name="node"></param>
/// <param name="direction">插入做左是右</param>
/// <returns></returns>
        public ChainTree<T> BinTreeAddNode<T>(ChainTree<T> tree, ChainTree<T> node, T data, Direction direction)
        {
            if (tree == null)
                return null;

            if (tree.data.Equals(data))
            {
                switch (direction)
                {
                    case Direction.Left:
                        if (tree.left != null)
                            throw new Exception("树的左节点不为空,不能插入");
                        else
                            tree.left = node;

                        break;
                    case Direction.Right:
                        if (tree.right != null)
                            throw new Exception("树的右节点不为空,不能插入");
                        else
                            tree.right = node;

                        break;
                }
            }

            BinTreeAddNode(tree.left, node, data, direction);
            BinTreeAddNode(tree.right, node, data, direction);

            return tree;
        }
        #endregion  

<3> 查找节点

二叉树中到处都散发着递归思想,很能锻炼一下我们对递归的认识,同样查找也是用到了递归思想。

 1         #region 在二叉树中查找指定的key
        /// <summary>
///在二叉树中查找指定的key
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
/// <param name="data"></param>
/// <returns></returns>
        public ChainTree<T> BinTreeFind<T>(ChainTree<T> tree, T data)
        {
            if (tree == null)
                return null;

            if (tree.data.Equals(data))
                return tree;

            return BinTreeFind(tree, data);
        }
        #endregion

<4> 计算深度

这个问题纠结了我二个多小时,原因在于没有深刻的体会到递归,其实主要思想就是递归左子树和右子树,然后得出较大的一个。

 1 #region 获取二叉树的深度
        /// <summary>
/// 获取二叉树的深度
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
/// <returns></returns>
        public int BinTreeLen<T>(ChainTree<T> tree)
        {
            int leftLength;
            int rightLength;

            if (tree == null)
                return 0;

            //递归左子树的深度
            leftLength = BinTreeLen(tree.left);

            //递归右子书的深度
            rightLength = BinTreeLen(tree.right);

            if (leftLength > rightLength)
                return leftLength + 1;
            else
                return rightLength + 1;
        }
        #endregion

<5> 遍历结点

二叉树中遍历节点的方法还是比较多的,有“先序”,“中序”,“后序”,“按层”,其实这些东西只可意会,不可言传,真的很难在口头

上说清楚,需要反复的体会递归思想。

先序:先访问根,然后递归访问左子树,最后递归右子树。(DLR模式)

中序:先递归访问左子树,在访问根,最后递归右子树。(LDR模式)

后序:先递归访问左子树,然后递归访问右子树,最后访问根。(LRD模式)

按层:这个比较简单,从上到下,从左到右的遍历节点。

  1  #region 二叉树的先序遍历
  2         /// <summary>
  3 /// 二叉树的先序遍历
  4 /// </summary>
  5 /// <typeparam name="T"></typeparam>
  6 /// <param name="tree"></param>
  7         public void BinTree_DLR<T>(ChainTree<T> tree)
  8         {
  9             if (tree == null)
                return;

            //先输出根元素
            Console.Write(tree.data + "\t");

            //然后遍历左子树
            BinTree_DLR(tree.left);

            //最后遍历右子树
            BinTree_DLR(tree.right);
        }
        #endregion

        #region 二叉树的中序遍历
        /// <summary>
/// 二叉树的中序遍历
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
        public void BinTree_LDR<T>(ChainTree<T> tree)
        {
            if (tree == null)
                return;

            //优先遍历左子树
            BinTree_LDR(tree.left);

            //然后输出节点
            Console.Write(tree.data + "\t");

            //最后遍历右子树
            BinTree_LDR(tree.right);
        }
        #endregion

        #region 二叉树的后序遍历
        /// <summary>
/// 二叉树的后序遍历
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
        public void BinTree_LRD<T>(ChainTree<T> tree)
        {
            if (tree == null)
                return;

            //优先遍历左子树
            BinTree_LRD(tree.left);

            //然后遍历右子树
            BinTree_LRD(tree.right);

            //最后输出节点元素
            Console.Write(tree.data + "\t");
        }
        #endregion

        #region 二叉树的按层遍历
        /// <summary>
/// 二叉树的按层遍历
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
        public void BinTree_Level<T>(ChainTree<T> tree)
        {
            if (tree == null)
                return;

            //申请保存空间
            ChainTree<T>[] treeList = new ChainTree<T>[Length];

            int head = 0;
            int tail = 0;

            //存放数组
            treeList[tail] = tree;

            //循环链中计算tail位置
            tail = (tail + 1) % Length;

            while (head != tail)
            {
                var tempNode = treeList[head];

                head = (head + 1) % Length;

                //输出节点
                Console.Write(tempNode.data + "\t");

                //如果左子树不为空,则将左子树存于数组的tail位置
                if (tempNode.left != null)
                {
                    treeList[tail] = tempNode.left;

                    tail = (tail + 1) % Length;
                }

                //如果右子树不为空,则将右子树存于数组的tail位置
                if (tempNode.right != null)
                {
                    treeList[tail] = tempNode.right;

                    tail = (tail + 1) % Length;
                }
            }
        }
        #endregion

<6> 清空二叉树

虽然C#里面有GC,但是我们能自己释放的就不麻烦GC了,同样清空二叉树节点,我们用到了递归,说实话,这次练习让我喜欢

上的递归,虽然XXX的情况下,递归的不是很好,但是递归还是很强大的。

 1 #region 清空二叉树
        /// <summary>
/// 清空二叉树
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
        public void BinTreeClear<T>(ChainTree<T> tree)
        {
            //递的结束点,归的起始点
            if (tree == null)
                return;

            BinTreeClear(tree.left);
            BinTreeClear(tree.right);

            //在归的过程中,释放当前节点的数据空间
            tree = null;
        }
        #endregion

最后上一下总的代码

第十一天 树操作(上)第十一天 树操作(上)View Code

  1 using System;
  2 using System.Collections.Generic;
  3 using System.Linq;
  4 using System.Text;
  5 
  6 namespace ChainTree
  7 {
  8     public class Program
  9     {
        static void Main(string[] args)
        {
            ChainTreeManager manager = new ChainTreeManager();

            //插入节点操作
            ChainTree<string> tree = CreateRoot();

            //插入节点数据
            AddNode(tree);

            //先序遍历
            Console.WriteLine("\n先序结果为: \n");
            manager.BinTree_DLR(tree);

            //中序遍历
            Console.WriteLine("\n中序结果为: \n");
            manager.BinTree_LDR(tree);

            //后序遍历
            Console.WriteLine("\n后序结果为: \n");
            manager.BinTree_LRD(tree);

            //层次遍历
            Console.WriteLine("\n层次结果为: \n");
            manager.Length = 100;
            manager.BinTree_Level(tree);

            Console.WriteLine("\n树的深度为:" + manager.BinTreeLen(tree) + "\n");

            Console.ReadLine();

        }

        #region 生成根节点
        /// <summary>
/// 生成根节点
/// </summary>
/// <returns></returns>
        static ChainTree<string> CreateRoot()
        {
            ChainTree<string> tree = new ChainTree<string>();

            Console.WriteLine("请输入根节点,方便我们生成树\n");

            tree.data = Console.ReadLine();

            Console.WriteLine("根节点生成已经生成\n");

            return tree;
        }
        #endregion

        #region 插入节点操作
        /// <summary>
/// 插入节点操作
/// </summary>
/// <param name="tree"></param>
        static ChainTree<string> AddNode(ChainTree<string> tree)
        {
            ChainTreeManager mananger = new ChainTreeManager();

            while (true)
            {
                ChainTree<string> node = new ChainTree<string>();

                Console.WriteLine("请输入要插入节点的数据:\n");

                node.data = Console.ReadLine();

                Console.WriteLine("请输入要查找的父节点数据:\n");

                var parentData = Console.ReadLine();

                if (tree == null)
                {
                    Console.WriteLine("未找到您输入的父节点,请重新输入。");
                    continue;
                }

                Console.WriteLine("请确定要插入到父节点的:1 左侧,2 右侧");

                Direction direction = (Direction)Enum.Parse(typeof(Direction), Console.ReadLine());

                tree = mananger.BinTreeAddNode(tree, node, parentData, direction);

                Console.WriteLine("插入成功,是否继续?  1 继续, 2 退出");

                if (int.Parse(Console.ReadLine()) == 1)
                    continue;
                else
                    break;
            }

            return tree;
        }
        #endregion
    }

    #region 插入左节点或者右节点
    /// <summary>
/// 插入左节点或者右节点
/// </summary>
    public enum Direction { Left = 1, Right = 2 }
    #endregion

    #region 二叉链表存储结构
    /// <summary>
/// 二叉链表存储结构
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
    public class ChainTree<T>
    {
        public T data;

        public ChainTree<T> left;

        public ChainTree<T> right;
    }
    #endregion

    /// <summary>
/// 二叉树的操作帮助类
/// </summary>
    public class ChainTreeManager
    {
        #region 按层遍历的Length空间存储
        /// <summary>
/// 按层遍历的Length空间存储
/// </summary>
        public int Length { get; set; }
        #endregion

        #region 将指定节点插入到二叉树中
        /// <summary>
/// 将指定节点插入到二叉树中
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
/// <param name="node"></param>
/// <param name="direction">插入做左是右</param>
/// <returns></returns>
        public ChainTree<T> BinTreeAddNode<T>(ChainTree<T> tree, ChainTree<T> node, T data, Direction direction)
        {
            if (tree == null)
                return null;

            if (tree.data.Equals(data))
            {
                switch (direction)
                {
                    case Direction.Left:
                        if (tree.left != null)
                            throw new Exception("树的左节点不为空,不能插入");
                        else
                            tree.left = node;

                        break;
                    case Direction.Right:
                        if (tree.right != null)
                            throw new Exception("树的右节点不为空,不能插入");
                        else
                            tree.right = node;

                        break;
                }
            }

            BinTreeAddNode(tree.left, node, data, direction);
            BinTreeAddNode(tree.right, node, data, direction);

            return tree;
        }
        #endregion

        #region 获取二叉树指定孩子的状态
        /// <summary>
/// 获取二叉树指定孩子的状态
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
/// <param name="direction"></param>
/// <returns></returns>
        public ChainTree<T> BinTreeChild<T>(ChainTree<T> tree, Direction direction)
        {
            ChainTree<T> childNode = null;

            if (tree == null)
                throw new Exception("二叉树为空");

            switch (direction)
            {
                case Direction.Left:
                    childNode = tree.left;
                    break;
                case Direction.Right:
                    childNode = tree.right;
                    break;
            }

            return childNode;
        }

        #endregion

        #region 获取二叉树的深度
        /// <summary>
/// 获取二叉树的深度
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
/// <returns></returns>
        public int BinTreeLen<T>(ChainTree<T> tree)
        {
            int leftLength;
            int rightLength;

            if (tree == null)
                return 0;

            //递归左子树的深度
            leftLength = BinTreeLen(tree.left);

            //递归右子书的深度
            rightLength = BinTreeLen(tree.right);

            if (leftLength > rightLength)
                return leftLength + 1;
            else
                return rightLength + 1;
        }
        #endregion

        #region 判断二叉树是否为空
        /// <summary>
/// 判断二叉树是否为空
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
/// <returns></returns>
        public bool BinTreeisEmpty<T>(ChainTree<T> tree)
        {
            return tree == null ? true : false;
        }
        #endregion

        #region 在二叉树中查找指定的key
        /// <summary>
///在二叉树中查找指定的key
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
/// <param name="data"></param>
/// <returns></returns>
        public ChainTree<T> BinTreeFind<T>(ChainTree<T> tree, T data)
        {
            if (tree == null)
                return null;

            if (tree.data.Equals(data))
                return tree;

            return BinTreeFind(tree, data);
        }
        #endregion

        #region 清空二叉树
        /// <summary>
/// 清空二叉树
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
        public void BinTreeClear<T>(ChainTree<T> tree)
        {
            //递的结束点,归的起始点
            if (tree == null)
                return;

            BinTreeClear(tree.left);
            BinTreeClear(tree.right);

            //在归的过程中,释放当前节点的数据空间
            tree = null;
        }
        #endregion

        #region 二叉树的先序遍历
        /// <summary>
/// 二叉树的先序遍历
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
        public void BinTree_DLR<T>(ChainTree<T> tree)
        {
            if (tree == null)
                return;

            //先输出根元素
            Console.Write(tree.data + "\t");

            //然后遍历左子树
            BinTree_DLR(tree.left);

            //最后遍历右子树
            BinTree_DLR(tree.right);
        }
        #endregion

        #region 二叉树的中序遍历
        /// <summary>
/// 二叉树的中序遍历
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
        public void BinTree_LDR<T>(ChainTree<T> tree)
        {
            if (tree == null)
                return;

            //优先遍历左子树
            BinTree_LDR(tree.left);

            //然后输出节点
            Console.Write(tree.data + "\t");

            //最后遍历右子树
            BinTree_LDR(tree.right);
        }
        #endregion

        #region 二叉树的后序遍历
        /// <summary>
/// 二叉树的后序遍历
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
        public void BinTree_LRD<T>(ChainTree<T> tree)
        {
            if (tree == null)
                return;

            //优先遍历左子树
            BinTree_LRD(tree.left);

            //然后遍历右子树
            BinTree_LRD(tree.right);

            //最后输出节点元素
            Console.Write(tree.data + "\t");
        }
        #endregion

        #region 二叉树的按层遍历
        /// <summary>
/// 二叉树的按层遍历
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
/// <param name="tree"></param>
        public void BinTree_Level<T>(ChainTree<T> tree)
        {
            if (tree == null)
                return;

            //申请保存空间
            ChainTree<T>[] treeList = new ChainTree<T>[Length];

            int head = 0;
            int tail = 0;

            //存放数组
            treeList[tail] = tree;

            //循环链中计算tail位置
            tail = (tail + 1) % Length;

            while (head != tail)
            {
                var tempNode = treeList[head];

                head = (head + 1) % Length;

                //输出节点
                Console.Write(tempNode.data + "\t");

                //如果左子树不为空,则将左子树存于数组的tail位置
                if (tempNode.left != null)
                {
                    treeList[tail] = tempNode.left;

                    tail = (tail + 1) % Length;
                }

                //如果右子树不为空,则将右子树存于数组的tail位置
                if (tempNode.right != null)
                {
                    treeList[tail] = tempNode.right;

                    tail = (tail + 1) % Length;
                }
            }
        }
        #endregion

    }
}

我们把文章开头的“二叉树”的节点输入到我们的结构中,看看遍历效果咋样。

第十一天 树操作(上)

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