算法-取得蓝色球的最大概率

算法-取得蓝色球的最大概率

晚风撩人 发布于 2017-05-17 字数 340 浏览 1157 回复 3

有一堆红球和篮球(蓝球和红球的数量不知道(不为零),大小形状等全都相同,只有颜色不同。),让你全部放进两个筐子(可以只放一个筐子也可以两个筐子都放,但必须全部放进筐子,如何放由你决定,每个筐放多少,放什么颜色由你决定),然后小明随机选取一个筐,随机在这个筐中抓取一个球(球放在上面并不增加概率),你怎么样放这些球让小明抓到蓝球的概率最高。

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评论(3

清晨说ぺ晚安 2017-09-08 3 楼

我觉得 应该是有n篮球 就用n+1个筐子
然后n个筐子放篮球 剩下的一个筐子把红球全放进去
这样 拿到篮球的概率大概是 n/n+1 试问 还有比这么这个概率更高的方法么

这是筐子数目不定的情况
如果筐子数目限制为2

一个筐子放1个篮球 剩下的一个筐子放剩下的

以此类推 如果n+1个筐子
就是 前n个筐子尽量各放一个篮球 然后剩下的放在最后的筐子里 !!!当框子数目过大 而篮球的数目有限的时候 选取适当的篮筐有助于产生 更高的概率!

泛泛之交 2017-09-01 2 楼

该问题的做法应该是取出一个蓝色球放在一个筐子内,其他的放在另一筐子内,取得蓝色球的最大概率在任何情况下都是:p=50%1+50%((N-1)/(M+N-1))。

浮生未歇 2017-07-11 1 楼

设有M个红球,N个蓝球,第一个筐里放x个红球,y个蓝球,则第二个里面有M-x个红球,N-y个蓝球。设B = x + y,1 <= B <= M + N - 1(否则一个筐没球了),0 <= y <= N, 0 <= B - y <= M

0 <= y <= N
B - M <= y <= B
小明抓到蓝球的概率:
1/2 * y / (x+y) + 1/2 * (N-y) / (M + N - x - y)
= 1/2 * y / B + 1/2 * (N-y) / (M + N - B)
= 1/2 * ((N-y) * B + y * (M + N - B)) / (B * (M + N - B))
= 1/2 * (NB + y * (M + N - 2B)) / (B * (M + N - B))
首先考虑y:
M + N - 2*B >= 0时,由于y <= B,y <= N,取y = min(B, N)有最大值;
否则y = max(0, B - M)有最大值

因此:
B <= N, M + N - 2B >= 0时,
y = B,概率最大为:
1/2 * (N
B + B * (M + N - 2B) / (B * (M + N - B))
= 1/2 * (M + 2
N - 2*B) / (M + N - B) = 1 - 1/2 * M / (M + N - B)
进一步地,B = 1时有整个式子的最大值,为 1 - 1/2 * M / (M + N - 1)

B > N,M + N - 2B >= 0时(暗含了M > N)
y = N时概率最大,为
1/2 * (N
B + N * (M + N - 2B) / (B * (M + N - B))
< 1/2 * (N
B + B * (M + N - 2B) / (B * (M + N - B))
= 1/2 * (M + 2
N - 2*B) / (M + N - B) = 1 - 1/2 * M / (M + N - B) < 1 - 1/2 * M / (M + N - 1)
一定不是最佳的。

M + N - 2B < 0,B <= M时(暗含了M > N):
y = 0时有最大值:
1/2 * N
B / (B * (M + N - B)) = 1/2 * N / (M + N - B) <= 1/2
B = M时成立
显然有 M <= M + N - 1,因此1 - 1/2 * M / (M + N - 1) >= 1/2

M + N - 2B < 0,B > M时
y = B - M时有最大值
1/2 * (N
B + (B-M) * (M + N - 2B)) / (B * (M + N - B))
= 1/2 * (B * (2
N - 2B + 2M) - M*(M+N-B) ) / (B * (M + N - B))
= 1 - 1/2 * M / B
B = M + N -1时有最大值
1 - 1/2 * M / (M + N - 1)
和第一种情况时相同(实际上就是把两个框的球数交换了)

综上所述:
y = B = 1(即y = 1, x = 0)有最大值1 - 1/2 * M / (M + N - 1)
即:一个筐里只有一个蓝球,另一个框里放其他的,此时摸到蓝球的概率最大。